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方向导数与梯度

2017-02-09

方向导数与梯度:在许多问题中,不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。这就是接下来要谈论的方向导数。

方向导数与梯度:在许多问题中,不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。这就是接下来要谈论的方向导数。
定义 1 设三元函数\在点\的某邻域\内有定义,\为从点\出发的射线,\\上且含于\内的任一点,以\表示与两点间\\的距离,若极限

\
存在,则称此极限为函数\在点\沿方向\方向导数,记作
\

沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出。
定理 若函数\在点\可微,则\在点\处沿任一方向\的方向导数都存在,且

\


其中\为方向\的方向余弦。

注:最后会介绍方向余弦的知识

例1 设\,求\在点\沿方向\的方向导数。
解 易见\在点\可微。故由\\方向的方向余弦

\

可按定理中的公式求得\沿方向\的方向导数为

.
\

定义 2\\存在所有自变量的偏导数,则称向量\为函数\在点\梯度,记作

\

.
向量 \的长度(或模)为

\

在上述定理的条件下,若记\方向上的单位向量为

\

.
于是方向导数公式又可以写成

\

这里\是梯度向量\\的夹角。因此当\时,\取得最大值\。这就是说当\在点\可微时,\在点\的梯度方向是\的值增长最快的方向,且沿这一方向的变化率就是梯度的模。而当\与梯度向量反方向\时,方向导数取得最小值\


例 2 设\,求\在点\处的梯度及它的模。
解 由于\所以

\






补充:方向余弦


定义:在解析几何里,一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度余弦。

\


计算方法

设OA=(a,b,c),则方向余弦的计算方法为
\

性质

\

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