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数据结构 B(B-)树、B+树、B*树

2017-02-18

数据结构 B(B-)树、B+树、B*树:B树及B-树,是一种自平衡的树,能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作,都在对数时间内完成。

数据结构 B(B-)树、B+树、B*树:B树及B-树,是一种自平衡的树,能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作,都在对数时间内完成。

B树,概括来说是一个一般化的二叉查找树,可以拥有多于2个子节点。与自平衡二叉查找树不同,B树为系统大块数据的读写操作做了优化。B树减少定位记录时所经历的中间过程,从而加快存取速度。B树这种数据结构可以用来描述外部存储。这种数据结构常被应用在数据库和文件系统的实作上。

1.1 B树的性质

M为树的阶数,B-树或为空树,否则满足下列条件:

1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子;且M>2;

2. 根结点的儿子数为[2, M];

3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M];

4. 每个结点存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1个关键字;(至少2个关键字)

5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1;

6. 非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];

7. 非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树;

8. 所有叶子结点位于同一层;

如:(M=3)

这里写图片描述

B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点。

1.2 B树的运用场景

保持键值有序,以顺序遍历

使用层次化的索引来最小化磁盘读取

使用不完全填充的块来加速插入和删除

通过优雅的遍历算法来保持索引平衡

另外,B树通过保证内部节点至少半满来最小化空间浪费。一棵B树可以处理任意数目的插入和删除。

2. B+树

B+ 树是一种树数据结构,是一个n叉树,每个节点通常有多个孩子,一颗B+树包含根节点、内部节点和叶子节点。根节点可能是一个叶子节点,也可能是一个包含两个或两个以上孩子节点的节点。

B+ 树通常用于数据库和操作系统的文件系统中。NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS, ReFS 和BFS等文件系统都在使用B+树作为元数据索引。B+ 树的特点是能够保持数据稳定有序,其插入与修改拥有较稳定的对数时间复杂度。B+ 树元素自底向上插入。

2.1 B+树的性质

B+树是B-树的变体,也是一种多路搜索树,其定义基本与B-树同,除了:

1. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;

2. 非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树(B-树是开区间);

3. 为所有叶子结点增加一个链指针;

4. 所有关键字都在叶子结点出现;

这里写图片描述

2.2 B+树与B树的区别

1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;

2. 不可能在非叶子结点命中;

3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;

4. 更适合文件索引系统;

B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

3. B*树

B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;

这里写图片描述

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M,即块的最低使用率为2/3(代替B+树的1/2);

B+树的分裂:

当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;

B*树的分裂:

当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;

所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

4 总结

B-树:

多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;

B+树:

在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点

中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;

B*树:

在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率从1/2提高到2/3;

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