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最小生成树四种方法概括

2017-01-06

最小生成树四种方法概括:带权图分为有向和无向,无向图的最短路径又叫做最小生成树,有prime算法和kruskal算法;有向图的最短路径算法有dijkstra算法和floyd算法。

最小生成树四种方法概括:带权图分为有向和无向,无向图的最短路径又叫做最小生成树,有prime算法和kruskal算法;有向图的最短路径算法有dijkstra算法和floyd算法。

生成树的概念:联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树,则该子图称为G的生成树 生成树是联通图的极小连通子图。所谓极小是指:若在树中任意增加一条边,则 将出现一个回路;若去掉一条边,将会使之编程非连通图。生成树各边的权 值总和称为生成素的权。权最小的生成树称为最小生成树,常用的算法有prime算法和kruskal算法。

最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径,常用的算法有:floyd算法和dijkstra算法。

构造最小生成树一般使用贪心策略,有prime算法和kruskal算法

prime算法的基本思想

1.清空生成树,任取一个顶点加入生成树

2.在那些一个端点在生成树里,另一个端点不在生成树里的边中,选取一条权最小的边,将它和另一个端点加进生成树

3.重复步骤2,直到所有的顶点都进入了生成树为止,此时的生成树就是最小生成树

int prime(int cur)
{
    int index;
    int sum = 0;
    memset(visit, false, sizeof(visit));
    visit[cur] = true;
    for(int i = 0; i < m; i ++){
        dist[i] = graph[cur][i];    
    }
    
    for(int i = 1; i < m; i ++){
        
        int mincost = INF;
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] < mincost){
                mincost = dist[j];
                index = j;    
            }    
        }
        
        visit[index] = true;
        sum += mincost;
        
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] > graph[index][j]){
                dist[j] = graph[index][j];
            }    
        }    
    } 
    return sum;    
}

kruskal算法:构造一个只含n个顶点,而边集为空的子图,若将该子图中各个顶点看成是各棵树的根节点,则它是一个含有n棵树的森林 。之后,从网的边集中选取一条权值最小的边,若该边的两个顶点分属不同的树 ,则将其加入子图,也就是这两个顶点分别所在的 两棵树合成一棵树;反之,若该边的两个顶点已落在同一棵树上,则不可取,而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推,直至森林只有一棵树。kruskal算法能够在并查集的基础很快的实现。结合例子来介绍具体算法实现(其中并查集的部分可以详见并查集介绍部分)http://poj.org/problem?id=1251

void floyd()
{
    for(int k = 0; k < n; k ++){ //作为循环中间点的k必须放在最外一层循环 
        for(int i = 0; i < n; i ++){
            for(int j = 0; j < n; j ++){
                if(dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]){
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];    //dist[i][j]得出的是i到j的最短路径 
                }     
            }    
        }    
    }    
}
floyd算法是最简单的最短路径算法,可以计算图中任意两点间的最短路径 folyd算法的时间复杂度是O(N3),如果是一个没有边权的图,把相连的两点 间的距离设为dist[i][j] = 1,不相连的两点设为无穷大,用 floyd算法可以判断i,j两点是否有路径相连。
void floyd()
{
    for(int k = 0; k < n; k ++){ //作为循环中间点的k必须放在最外一层循环 
        for(int i = 0; i < n; i ++){
            for(int j = 0; j < n; j ++){
                if(dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]){
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];    //dist[i][j]得出的是i到j的最短路径 
                }     
            }    
        }    
    }    
}
dijkstra算法用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法,复杂度O(N2)。
void dijkstra(int s)   //s是起点
{
    memset(visit, false, sizeof(visit));    
visit[s] = true;
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        dist[i] = graph[s][i];
    }
     
    int index;
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        int mincost = INF;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] < mincost){
                mincost = dist[j];
                index = j;    
            }    
        }
        visit[index] = true;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] > dist[index] + graph[index][j]){
                dist[j] = dist[index] + graph[index][j];
            }    
        }    
    }
}
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