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hihoCoder-第115周-网络流一Ford-Fulkerson算法

2016-09-12

hihoCoder-第115周-网络流一Ford-Fulkerson算法

题目1 : 网络流一·Ford-Fulkerson算法

时间限制:10000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

小Hi和小Ho住在P市,P市是一个很大很大的城市,所以也面临着一个大城市都会遇到的问题:交通拥挤。

小Ho:每到周末回家感觉堵车都是一种煎熬啊。

小Hi:平时交通也还好,只是一到上下班的高峰期就会比较拥挤。

小Ho:要是能够限制一下车的数量就好了,不知道有没有办法可以知道交通系统的最大承受车流量,这样就可以限制到一个可以一直很顺畅的数量了。

小Hi:理论上是有算法的啦。早在1955年,T.E.哈里斯就提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的问题。并且由此产生了一个新的图论模型:网络流。

小Ho:那具体是啥?

小Hi:用数学的语言描述就是给定一个有向图G=(V,E),其中每一条边(u,v)均有一个非负数的容量值,记为c(u,v)≥0。同时在图中有两个特殊的顶点,源点S和汇点T。

举个例子:

这里写图片描述

其中节点1为源点S,节点6为汇点T。<喎"http://www.2cto.com/kf/ware/vc/" target="_blank" class="keylink">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"brush:java;"> #include #include #include #include #include using namespace std; const int maxn=505; const int INF=0x3f3f3f3f; struct node { int c;//容量 int f;//流量 } map[maxn][maxn]; int path[maxn];//记录路径 int vis[maxn];//标记是否访问 int alpha[maxn];//记录残留网络中的可改进量 int N,M; int Find_path()//寻找增广路径,生成残留网络并返回汇点的可改进量 { memset(path,0,sizeof(path)); memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(alpha,0,sizeof(alpha)); path[1]=1; vis[1]=1; alpha[1]=INF; queueq; q.push(1); while(!q.empty()) { int star=q.front(); q.pop(); for(int i=1; i<=N; i++) { if(vis[i]==0) { if(map[star][i].c-map[star][i].f>0)//正向流量未满 { path[i]=star; alpha[i]=min(map[star][i].c-map[star][i].f,alpha[star]); vis[i]=1; q.push(i); } else if(map[i][star].f>0)//反向有流量 { path[i]=star;//注意这里为何这样记录路径 vis[i]=1; q.push(i); } } } } return alpha[N]; } void Update_path(int min_alpha)//更新map图 { for(int i=N;i!=1;i=path[i]) { if(map[path[i]][i].c-map[path[i]][i].f>0) map[path[i]][i].f+=min_alpha; else if(map[i][path[i]].f>0) map[i][path[i]].f+=min_alpha; } } int main() { scanf("%d%d",&N,&M); //构图 memset(map,0,sizeof(map)); while(M--) { int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); map[u][v].c+=w; } int max_flow=0;//最大流 while(1) { int min_alpha=Find_path(); max_flow+=min_alpha; if(min_alpha==0) break; Update_path(min_alpha); } printf("%d\n",max_flow); return 0; }

提示内容

小Hi:在你思考完成之前,我再给你讲一些网络流的性质好了。

对于任意一个时刻,设f(u,v)实际流量,则整个图G的流网络满足3个性质:

容量限制:对任意u,v&isin;V,f(u,v)&le;c(u,v)。

反对称性:对任意u,v&isin;V,f(u,v) = -f(v,u)。从u到v的流量一定是从v到u的流量的相反值。

流守恒性:对任意u,若u不为S或T,一定有&sum;f(u,v)=0,(u,v)&isin;E。即u到相邻节点的流量之和为0,因为流入u的流量和u点流出的流量相等,u点本身不会”制造”和”消耗”流量。

对于上面例子中的图,其对应的f网络图为(其中虚线表示实际不存在的边(v,u)):

这里写图片描述

在此基础上,假设我们用cf(u,v)来表示c(u,v)-f(u,v),则可以表示每一条边还剩下多少的流量可以使用,我们称为残留容量。

假设一条边(u,v),其容量为3,使用了流量f(u,v)=2,则可以表示为:cf(u,v)=1, cf(v,u)=2。

由cf(u,v)构成的图我们称为残留网络。

比如例子中的残留网络图为:

这里写图片描述

小Ho,你可以从残留网络作为着手点,会比较简单。

小Ho:残留网络,残留网络也就是可以使用的流量……我知道了!

既然残留网络表示还可以使用的流量,那么我就可以从图中找出一条从S到T的路径p,使得路径p上所有边的cf(u,v)都大于0。

假设路径p上最小的cf(u,v)等于k,那我就可以使得S到T增加k的流量。

小Hi:没错,通过该条路径p使得图G的最大流得到了增加,所以这样的路径p被称为增广路径。

小Ho:我大概有一个简单的算法了!

首先我根据读入的信息,就可以得到最初的图G,然后将其转化为残留网络。

接下来我在残留网络上寻找是否有增广路径,如果不存在增广路径,则说明这个图不能再增加流量了。

若存在增广路径,则我将最大流量增加,同时对增广路径上的边cf(u,v)进行修改,再重复寻找增广路径。

整个过程大概就是:

While ( findAugmentPath() ) // 判断是否有增广路
    maxFlow = maxFlow + delta // 最大流增加
    modifyGraph() // 对增广路进行修改
End While

小Hi:那么你打算怎么实现寻找增广路和修改路径呢?

小Ho:寻找增广路的话,直接使用BFS从源点S开始搜索,记录每个点的路径以及路径上的最小残余容量:

findAugmentPath():
queue = []    // 重置搜索队列
path = []     // 初始化路径数组为0
capacity = [] // 初始化流量数组为0
visited = []  // 初始化访问数组为false
tail = 0
queue[ tail ] = S // 将源点加入队列
capacity[S] = &infin; // 到源点的流量为无穷大
visited[S] = true
i = 0
While (i &le; tail)
    u = queue[i]
    If (u == T) Then
        // 已经找到一条增广路
        Return capacity[T]
    End If
    For (u, v)&isin;残留网络 and cf(u,v)&ge;0 and not visited[v]
        // u到v有残留容量,且v未被访问过
        path[v] = u // 记录路径
        capacity[v] = min(cf(u,v), capacity[u]) // 记录路径上的最小残余容量

        visited[v] = true
        tail = tail + 1
        queue[ tail ] = v
    End For
    i = i + 1
End While

而对于路径的修改,在已经有path数组的情况下,利用迭代或者回溯都可以完成:

modifyGraph():
flow = capacity[T]
now = T
While ( now is not S )
    fa = path[ now ]
    cf(fa, now) = cf(fa, now) - flow
    cf(now, fa) = cf(now, fa) + flow // 反向的残余容量是增加
    now = fa
End While

小Ho:时间复杂度方面,每一次寻找增广路的时间为O(n+m),每一次修改路径的时间复杂度为O(n)。假设图的最大流为maxflow,那么我的算法时间复杂度为O((n+m)*maxflow)。

小Hi:嗯,你所采用的算法就是最简单的最大流解决办法,最早是由L.R.Ford和D.R.Fulkerson在1956年时发表,因此也被称为Ford-Fulkerson算法。对于第一次接触网络流而言,可以先试着实现这个算法,对于你理解网络流会有很大的帮助。

小Ho:不过小Hi,我有一个小疑问,虽然我直观上感觉找不到新的增广路时就已经是最大流了,但这真的没有问题么?

小Hi:找不到增广路确实是等价于找到最大流,不过具体的证明嘛,请听下回分解。

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