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hihoCoder-第115周-网络流一Ford-Fulkerson算法

16-09-12

hihoCoder-第115周-网络流一Ford-Fulkerson算法

题目1 : 网络流一·Ford-Fulkerson算法

时间限制:10000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

小Hi和小Ho住在P市,P市是一个很大很大的城市,所以也面临着一个大城市都会遇到的问题:交通拥挤。

小Ho:每到周末回家感觉堵车都是一种煎熬啊。

小Hi:平时交通也还好,只是一到上下班的高峰期就会比较拥挤。

小Ho:要是能够限制一下车的数量就好了,不知道有没有办法可以知道交通系统的最大承受车流量,这样就可以限制到一个可以一直很顺畅的数量了。

小Hi:理论上是有算法的啦。早在1955年,T.E.哈里斯就提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的问题。并且由此产生了一个新的图论模型:网络流。

小Ho:那具体是啥?

小Hi:用数学的语言描述就是给定一个有向图G=(V,E),其中每一条边(u,v)均有一个非负数的容量值,记为c(u,v)≥0。同时在图中有两个特殊的顶点,源点S和汇点T。

举个例子:

这里写图片描述

其中节点1为源点S,节点6为汇点T。

我们要求从源点S到汇点T的最大可行流量,这个问题也被称为最大流问题。

在这个例子中最大流量为5,分别为:1→2→4→6,流量为1;1→3→4→6,流量为2;1→3→5→6,流量为2。

小Ho:看上去好像挺有意思的,你让我先想想。

提示:Ford-Fulkerson算法

输入

第1行:2个正整数N,M。2≤N≤500,1≤M≤20,000。

第2..M+1行:每行3个整数u,v,c(u,v),表示一条边(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤N,0≤c(u,v)≤100。

给定的图中默认源点为1,汇点为N。可能有重复的边。

输出

第1行:1个整数,表示给定图G的最大流。

样例输入

6 7

1 2 3

1 3 5

2 4 1

3 4 2

3 5 3

4 6 4

5 6 2

样例输出

5

标号法模板

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=505;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct node
{
    int c;//容量
    int f;//流量
} map[maxn][maxn];
int path[maxn];//记录路径
int vis[maxn];//标记是否访问
int alpha[maxn];//记录残留网络中的可改进量
int N,M;
int Find_path()//寻找增广路径,生成残留网络并返回汇点的可改进量
{
    memset(path,0,sizeof(path));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(alpha,0,sizeof(alpha));
    path[1]=1;
    vis[1]=1;
    alpha[1]=INF;
    queueq;
    q.push(1);
    while(!q.empty())
    {
        int star=q.front();
        q.pop();
        for(int i=1; i<=N; i++)
        {
            if(vis[i]==0)
            {
                if(map[star][i].c-map[star][i].f>0)//正向流量未满
                {
                    path[i]=star;
                    alpha[i]=min(map[star][i].c-map[star][i].f,alpha[star]);
                    vis[i]=1;
                    q.push(i);
                }
                else if(map[i][star].f>0)//反向有流量
                {
                    path[i]=star;//注意这里为何这样记录路径
                    vis[i]=1;
                    q.push(i);
                }
            }
        }
    }
    return alpha[N];
}
void Update_path(int min_alpha)//更新map图
{
    for(int i=N;i!=1;i=path[i])
    {
        if(map[path[i]][i].c-map[path[i]][i].f>0)
            map[path[i]][i].f+=min_alpha;
        else if(map[i][path[i]].f>0)
            map[i][path[i]].f+=min_alpha;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);
    //构图
    memset(map,0,sizeof(map));
    while(M--)
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        map[u][v].c+=w;
    }
    int max_flow=0;//最大流
    while(1)
    {
        int min_alpha=Find_path();
        max_flow+=min_alpha;
        if(min_alpha==0)
            break;
        Update_path(min_alpha);
    }
    printf("%d\n",max_flow);
    return 0;
}

提示内容

小Hi:在你思考完成之前,我再给你讲一些网络流的性质好了。

对于任意一个时刻,设f(u,v)实际流量,则整个图G的流网络满足3个性质:

容量限制:对任意u,v∈V,f(u,v)≤c(u,v)。

反对称性:对任意u,v∈V,f(u,v) = -f(v,u)。从u到v的流量一定是从v到u的流量的相反值。

流守恒性:对任意u,若u不为S或T,一定有∑f(u,v)=0,(u,v)∈E。即u到相邻节点的流量之和为0,因为流入u的流量和u点流出的流量相等,u点本身不会”制造”和”消耗”流量。

对于上面例子中的图,其对应的f网络图为(其中虚线表示实际不存在的边(v,u)):

这里写图片描述

在此基础上,假设我们用cf(u,v)来表示c(u,v)-f(u,v),则可以表示每一条边还剩下多少的流量可以使用,我们称为残留容量。

假设一条边(u,v),其容量为3,使用了流量f(u,v)=2,则可以表示为:cf(u,v)=1, cf(v,u)=2。

由cf(u,v)构成的图我们称为残留网络。

比如例子中的残留网络图为:

这里写图片描述

小Ho,你可以从残留网络作为着手点,会比较简单。

小Ho:残留网络,残留网络也就是可以使用的流量……我知道了!

既然残留网络表示还可以使用的流量,那么我就可以从图中找出一条从S到T的路径p,使得路径p上所有边的cf(u,v)都大于0。

假设路径p上最小的cf(u,v)等于k,那我就可以使得S到T增加k的流量。

小Hi:没错,通过该条路径p使得图G的最大流得到了增加,所以这样的路径p被称为增广路径。

小Ho:我大概有一个简单的算法了!

首先我根据读入的信息,就可以得到最初的图G,然后将其转化为残留网络。

接下来我在残留网络上寻找是否有增广路径,如果不存在增广路径,则说明这个图不能再增加流量了。

若存在增广路径,则我将最大流量增加,同时对增广路径上的边cf(u,v)进行修改,再重复寻找增广路径。

整个过程大概就是:

While ( findAugmentPath() ) // 判断是否有增广路
    maxFlow = maxFlow + delta // 最大流增加
    modifyGraph() // 对增广路进行修改
End While

小Hi:那么你打算怎么实现寻找增广路和修改路径呢?

小Ho:寻找增广路的话,直接使用BFS从源点S开始搜索,记录每个点的路径以及路径上的最小残余容量:

findAugmentPath():
queue = []    // 重置搜索队列
path = []     // 初始化路径数组为0
capacity = [] // 初始化流量数组为0
visited = []  // 初始化访问数组为false
tail = 0
queue[ tail ] = S // 将源点加入队列
capacity[S] = ∞ // 到源点的流量为无穷大
visited[S] = true
i = 0
While (i ≤ tail)
    u = queue[i]
    If (u == T) Then
        // 已经找到一条增广路
        Return capacity[T]
    End If
    For (u, v)∈残留网络 and cf(u,v)≥0 and not visited[v]
        // u到v有残留容量,且v未被访问过
        path[v] = u // 记录路径
        capacity[v] = min(cf(u,v), capacity[u]) // 记录路径上的最小残余容量

        visited[v] = true
        tail = tail + 1
        queue[ tail ] = v
    End For
    i = i + 1
End While

而对于路径的修改,在已经有path数组的情况下,利用迭代或者回溯都可以完成:

modifyGraph():
flow = capacity[T]
now = T
While ( now is not S )
    fa = path[ now ]
    cf(fa, now) = cf(fa, now) - flow
    cf(now, fa) = cf(now, fa) + flow // 反向的残余容量是增加
    now = fa
End While

小Ho:时间复杂度方面,每一次寻找增广路的时间为O(n+m),每一次修改路径的时间复杂度为O(n)。假设图的最大流为maxflow,那么我的算法时间复杂度为O((n+m)*maxflow)。

小Hi:嗯,你所采用的算法就是最简单的最大流解决办法,最早是由L.R.Ford和D.R.Fulkerson在1956年时发表,因此也被称为Ford-Fulkerson算法。对于第一次接触网络流而言,可以先试着实现这个算法,对于你理解网络流会有很大的帮助。

小Ho:不过小Hi,我有一个小疑问,虽然我直观上感觉找不到新的增广路时就已经是最大流了,但这真的没有问题么?

小Hi:找不到增广路确实是等价于找到最大流,不过具体的证明嘛,请听下回分解。

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