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机器学习: 神经网络中的Error函数

16-06-18

利用神经网络做分类的时候,可以将神经网络看成一个mapping function,从输入到输出经过复杂的非线性变换。而输出的预测值与实际的目标值总是存在一定偏差的,一般利用这种偏差建立error 函数,再利用back pr

利用神经网络做分类的时候,可以将神经网络看成一个mapping function,从输入到输出经过复杂的非线性变换。而输出的预测值与实际的目标值总是存在一定偏差的,一般利用这种偏差建立error 函数,再利用back propagation 来训练神经网络。

我们可以探讨一下,error 函数与概率分布或者概率密度函数的关系。

二分类

先来看二分类情况(t∈{0,1}),我们假设网络最终的输出会经过一个sigmoid 函数:

y=σ(a)=11+exp(?a)

0≤y(x,w)≤1, y(x,w) 可以看成是x 属于第一类的条件概率 p(C2|x), 显然,p(C1|x)=1?y(x,w), 这种概率分布可以用伯努利分布来表示:

p(t|x,w)=y(x,w)t(1?y(x,w))1?t

那么,给定一组训练数据,含有N个独立观测的样本,我们可以建立如下的概率分布:

p(D|w)=∏n=1Np(tn|w)=∏k=1Nyntn(1?yn)1?tn

这里,yn=y(xn,w). 对上式取对数,对应的是似然估计函数:

lnp(D|w)=∑n=1N{tnlnyn+(1?tn)ln(1?yn)}

我们转换成error的时候,当然是希望error越小越好,最大似然估计对应最小的error,所以对上式取负号,可以得到如下的error函数:

E(w)=?∑n=1N{tnlnyn+(1?tn)ln(1?yn)}

这个就是训练二分类神经网络的时候,用的error 函数。

多个二分类

如果是多个二分类同时存在的情况,就像我们之前在离散变量的概率分布里讨论的那样,可以建立如下的概率分布:

p(t|x,w)=∏k=1Kytkk(1?yk)(1?tk)

整个训练集的概率分布可以表示为:

p(D|w)=∏n=1N∏k=1Kp(tnk|w)=∏n=1N∏k=1Kynktnk(1?ynk)1?tnk

与二分类的情况类似,我们可以通过似然函数,取负对数,得到相应的error 函数:

E(w)=?∑n=1N∑k=1K{tnklnynk+(1?tnk)ln(1?ynk)}

多分类

最后,我们再讨论一下多分类的情况,可以用0-1组成的向量来表示输出,每个输出向量中,只有一个1,其它都是0,第几个分量为1,说明输入的x 属于第几类。y(x,w)=p(tk=1|x), 这种多分类与上面讨论的多个二分类的情况不同,多分类中,每次的输出向量中只有一个1。显然:

∑k=1Kp(tk=1|x)=1

给定一个样本,其概率分布为:

p(t|x,w)=∏k=1Kp(tk|x,w)=∏k=1Kyk(x,w)tk

一组训练样本的概率分布可以表示为:

p(D|w)=∏n=1N∏k=1Kp(tnk|w)=∏n=1N∏k=1Kynktnk

对上式取负对数,我们可以得到多分类的error函数为:

E(w)=?∑n=1N∑k=1Ktnklnyk(xn,w)

其中:

yk(x,w)=exp(ak(x,w))∑jexp(aj(x,w))

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