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OpenGL学习脚印: 向量和矩阵要点(math-vector and matrices)

2016-05-13

写在前面 前面几节内容环境搭建,绘制三角形,以及使用索引绘制,让我们对现代OpenGL中绘图做了简单了解。要继续后面的部分,需要熟悉OpenGL中涉及的数学知识。因此本节开始介绍OpenGL中的基本数学。

写在前面
前面几节内容环境搭建,绘制三角形,以及使用索引绘制,让我们对现代OpenGL中绘图做了简单了解。要继续后面的部分,需要熟悉OpenGL中涉及的数学知识。因此本节开始介绍OpenGL中的基本数学。

介绍这部分内容的主旨在于对OpenGL涉及的数学有个整体把握,重点把握一些概念在OpenGL中的应用。内容尽量以例子形式说明,仅在必要时会给出数学证明。一个主题往往涉及过多内容,对于文中省略的部分,请参考相应的教材。

通过本节可以了解到

向量基本概念和操作 矩阵的基本概念和操作 GLM数学库

向量的概念

向量是研究2D、3D数学的标准工具。向量V是一个既有大小又有方向的量(联系位移和速度的概念)。在数学上,常用一条有方向的线段来表示向量。例如下图n维空间的向量v=AB→=(v1,v2,...,vn)如下图所示,向量起点为A,终点为B:
这里写图片描述
理解向量把握:
1.向量的大小就是向量的长度(模)。向量的长度非负。
2.向量的方向描述了向量的指向。
3.向量是没有位置的,与点是不同的。
4.向量与标量不同,变量是只有大小而没有方向的量,例如位移是向量,而距离是标量。<喎"http://www.2cto.com/kf/ware/vc/" target="_blank" class="keylink">vcD4NCjxoMiBpZD0="零向量与单位向量">零向量与单位向量

向量的长度即模,定义为:
|v|=v21+v22+?+v2n??????????????&radic;
|v|=&sum;ni=1v2i???????&radic;

模等于0的向量成为0向量,模等于1的向量叫做单位向量。注意零向量的方向是任意的。
由一个向量v求与它同方向的单位向量过程称为标准化(normalization),这个单位向量成为标准化向量(normalized vector)。计算过程为:
vnorm=v|v|,v&ne;0

三角形法则和平行四边形法则

两个向量ab,当将b的起点放在a的终点,连接a的起点和b的终点的向量成为向量a,b之和,记为:c=a+b,如下图所示(图片来自:mathinsight):
这里写图片描述

物理上力学求和经常使用平行四边形法则,表达的是向量加法运算的结合律,即:a+b=b+a,如下图所示(图片来自:mathinsight):
这里写图片描述

与一个向量a大小相同,方向相反的向量,称为向量a的负向量,两者相加得到零向量,即:
a+(?a)=0

向量夹角

两个非零向量的夹角规定为不超过&pi;的角度&theta;,即
0&le;&theta;&le;&pi;
如下图所示:
这里写图片描述
注意这个夹角的范围。当&theta;=&pi;2称两个向量a与b垂直,当&theta;=0或者&pi;时,称向量a与b平行。

向量点积(dot product)

向量点积,也称为向量的数量积,点积的结果是一个标量,其定义为:
A.B=|A||B|cos&theta;(1)
其中&theta;表示向量A和B之间的夹角。

向量点积的几何意义

要理解点积的几何意义,首先了解概念向量在轴上的投影(scalar projection ),这个投影计算得到一个标量。向量A在B上的投影定义为:
AB=|A|cos&theta;(2)
如下图所示(来自wiki dot product):
向量在轴上的投影
则1式可以写为:
A.B="A|BA=|B|AB(3)

在空间几何中,例如n空间中,向量的坐标表示为:
A=(a1,b2,?,cn)B=(b1,b2,?,bn),
则两个向量的点积可以表示为:

A.B=a1b1+a2b2+?+anbn=&sum;i=1naibi(4)

向量点积的应用
向量点积的一个重要应用在于,可以快速求出两个向量的夹角余弦。
由公式1可知,两个向量的夹角余弦计算公式为:

cos&theta;=a.b|a||b|(5)

当a和b都是单位向量时,两单位向量的夹角余弦值为:
cos&theta;=a.b(6)
公式6能快速计算出两个单位向量的夹角余弦,在计算光照时经常使用。
另外当一个向量为单位向量时:
|a|2=a?a(7)
这个公式也是经常使用的。

向量的叉积(cross product)

两个向量a和b的叉积,结果是一个向量c=a&times;b,c的方向垂直于a和b,它需要根据右手规则来确定(下文讲解);c的大小等于
|c|=|a||b|sin&theta;(8)
叉积如下图所示(来自wiki):
叉积

注意c的方向需要根据右手规则来确定。所谓右手规则是指,将向量a与b放在同一个起点时,当右手的四个手指从a所指方向转到b所指方向握拳时,大拇指的指向即为a&times;b的方向。如下图所示(来自cross product):
这里写图片描述
尤其要注意 a&times;b&ne;b&times;a事实上,
a&times;b=?b&times;a(9)
在利用以坐标形式表示向量a和b时,在3D空间中,叉积的结果用矩阵表示为(矩阵下文介绍):

c=a&times;b=???iaxbxjaybykazbz???=[aybyazbz]i?[axbxazbz]j+[axbxayby]k=???aybz?azbyazbx?axbzaxby?aybx???(10)

叉积的几何意义
叉积的模可以视为以a和b为两边的平行四边形的面积,如下图所示(来自wiki):
叉积几何意义
其中"b|sin&theta;可以视为平行四边形的高,计算后a&times;b的模即为平行四边形的面积。
叉积的应用
在OpenGL图形编程中,叉积经常在已知两个方向时,用来确定第三个方向。例如已知相机的朝向dir和侧向量side,则相机的顶部向量为: up=dir&times;side,后面再介绍相机矩阵时会用到。

投影向量的计算

一个向量a在另一向量b上的投影向量,包括与b平行的部分a1和与b垂直的部分a2a1即是之前提到的scalar projection,不过这里a1是一个向量。具体过程如下图所示:
投影向量

右图可知与b平行分量a1可计算为:

a1=|a1|b|b|=|a|cos&theta;b|b|=(|a||b|cos&theta;)b|b|2=a?b|b|2b(11)

垂直分量a2计算为:
a2=a?a1=a?a?b|b|2b(12)

投影向量的应用
投影向量的计算过程,是一个向量分解的过程,这种向量分解的思路在后面推导其他内容时很有帮助,例如求解后面的物体旋转矩阵时会派上用场。

矩阵的概念

矩阵从形式上就是一个数字表,以行和列的形式呈现,简单的矩阵如下图所示:
???147258369???
矩阵的行数m和列数n可以不相同,m行n列矩阵记为矩阵Am&times;n。当行数和列数相等时,m= n ,矩阵A也称为n阶方阵。例如下图给出了3x4矩阵A3&times;4的抽象表示:
3x4矩阵

行向量和列向量

对于1xn的矩阵,我们称之为行向量,nx1的矩阵称为列向量。一般可以用列向量表示空间中的向量(以行向量表示也可以),例如上面的向量a=(ax,by,cz)可以用列向量表示为:
a=???axayaz???

注意 OpenGL编程中习惯用列向量表示点或者向量。矩阵在内存中以列优先存储,但是具体传递参数时,一般函数提供了是否转置的布尔参数来调整存储格式。例如void glUniformMatrix4fv函数提供了布尔变量 GLboolean transpose 来表示是否转置矩阵。

零矩阵和n阶单位阵

mxn矩阵,如果所有元素都为0,则成为零矩阵。
对于一个n阶单位阵,如果主对角线元素全为1,其余元素都为0则称为n阶单位阵。对于一个矩阵Am&times;n,存在单位阵满足:ImA=AIn=A.

矩阵转置

转置操作即是将矩阵的行和列互换,即原矩阵A的第一行变为转置矩阵AT的第一列,原矩阵A的第二行变为转置矩阵AT的第二列,其他部分依次类推。
例如矩阵

A=[142536]

则其转置矩阵为:
AT=???123456???.

矩阵加减法

两个矩阵A和B要能执行加减法,必须是行和列数目相等的,计算过程,即对应的元素相加(Aij+Bij)或者相减(Aij?Bij),如下图所示:
这里写图片描述

这里写图片描述

标量和矩阵乘法

用一个数k乘以矩阵A,结果为矩阵A中每个元素乘以数k。例如:
这里写图片描述

矩阵和矩阵乘法

两个矩阵Am&times;nBn&times;p要执行乘法操作,需要满足: 左边矩阵的列数和右边矩阵的行数相等,并且结果矩阵为Cm&times;p
计算过程如下图所示(来自:mathworld):
矩阵相乘

其中 Cij=&sum;nk=1aikbkj,即C中第i行第j列的元素,即为矩阵A的第i行和第j的对应元素相乘后的和。例如
这里写图片描述

矩阵和矩阵相乘例子

给定两个矩阵相乘,过程如下图所示(来自:mathsisfun):
矩阵相乘a
矩阵相乘b
这里写图片描述

熟悉了矩阵相乘后,则上述向量的点积公式可以重新表示为:
a=(a1,b2,?,cn)b=(b1,b2,?,bn),
则两个向量的点积可以表示为:

a.b=a1b1+a2b2+?+anbn=&sum;i=1naibi=[a1a2?an]??????b1b2?bn??????=aTb(13)

矩阵和向量相乘

矩阵和向量相乘是矩阵和矩阵相乘的特例,给定矩阵A和列向量v,相乘过程如下所示(来自mathinsight):

Av=?????147102581136912?????????210???=??????2?1+1?2+0?3?2?4+1?5+0?6?2?7+1?8+0?9?2?10+1?11+0?12?????=?????0?3?6?9?????.

在OpenGL中使用的A4&times;4矩阵与列向量相乘,表示坐标变换。

行列式

行列式是n阶方阵的数字构成的数的行列集合,例如2阶方阵A表示为:
A=[acbd]
其行列式det(A)表示为:

det(A)=∣∣∣acbd∣∣∣=ad?bc

3x3矩阵的行列式计算如下:
det??????adgbehcfi??????=adet([ehfi])?bdet([dgfi])+cdet([dgeh])=a(ei?fh)?b(di?fg)+c(dh?eg)=aei+bfg+cdh?afh?bdi?ceg

关于矩阵行列式计算的更多方法可以参考线性代数教材。

逆矩阵

对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B使得:
AB=BA=I(14)
成立,则称B是A的逆矩阵,这时就说矩阵A是可逆矩阵,或者说矩阵A时非奇异矩阵(Nonsingular matrix)。单位矩阵I是主对角线上元素为1,其余元素都为0的n阶方阵。例如3x3的单位矩阵为:

I3x3=???100010001???
注意 只有n阶方阵才有逆矩阵的概念,对于一般的矩阵Am&times;n(m&ne;n)不存在这样的矩阵B满足14式。
n阶方阵A可逆的充要条件是A的行列式|A|&ne;0.

逆矩阵的应用意义
在3D图形处理中,用一个变换矩阵乘以向量,代表了对原始图形进行了某种变换,例如缩小,旋转等,逆矩阵表示这个操作的逆操作,也就是能够撤销这一操作。例如对一个向量v用矩阵M相乘,然后再用M?1相乘,则能得到原来的向量v:
M?1(Mv)=(M?1M)v=Iv=v

注意转换矩阵应用顺序 当用矩阵A,B,C转换向量v时,如果v用行向量记法,则矩阵按转换顺序从左往右列出,表达为vABC;如果v采用列向量记法,则转换矩阵应该放在左边,并且转换从右往左发生,对应的转换记为CBAv

正交矩阵

对于方阵M,当且仅当M与其转置矩阵MT的乘积等于单位矩阵时,称其为正交矩阵。即:
M正交?MMT=I?MT=M?1(15)
正交矩阵的一大优势在于,计算逆矩阵时,只需要对原矩阵转置即可,从而减少了计算量。在3D图形处理中的旋转和镜像变换都是正交的。
对于n阶方阵A,它是正交矩阵的重要条件是A的行向量为一个相互正交的单位向量组,即A=??????&beta;1&beta;2?&beta;n??????为正交矩阵的充要条件是:

An&times;n正交?&beta;i&beta;Tj={1,0,i=ji&ne;j.
注意这里&beta;i表示的是行向量。上述条件可以叙述为:

矩阵的每一行都是单位向量 矩阵的所有行互相垂直。

这个重要条件可以利用MMT=I加以证明。利用这个充要条件可以作为快速判断一个矩阵M是否是正交矩阵的方法。对于矩阵的列也可以得到类似的条件。同时也可以得到,如果M是正交矩阵,则MT也是正交矩阵。

GLM数学库中的向量和矩阵

GLM是一个C++编写的,基于OpenGL着色器语言规范编写只是用头文件的图形开发数学库。这个库中提供了我们需要的很多数学操作,例如包含本节提到的向量和矩阵。例如下面的代码是用了向量的标准化、叉积等操作求取了一个三角形的法向量:

    #include // glm::vec3
    #include // glm::cross, glm::normalize
    void computeNormal(triangle & Triangle)
    {
    glm::vec3 const & a = Triangle.Position[0];
    glm::vec3 const & b = Triangle.Position[1];
    glm::vec3 const & c = Triangle.Position[2];
    Triangle.Normal = glm::normalize(glm::cross(c - a, b - a));
    } 

例如与4x4矩阵对应类为 glm::mat4,其他更多的操作可以查看其参考文档,具体使用方法在后面应用时再做介绍。

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