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图像处理之让手心长出眼睛,其实嘴也可以~

2016-01-26

无图像,不处理,先上效果图。手上长嘴当然也可以,不过感觉有点恶心 ~ 就不上那种图了。这里所采用的算法就是大名鼎鼎的泊松融合算法,它的应用非常广泛,除了上面这种手上长眼睛的效果,还可以实现“纹理拼接

无图像,不处理,先上效果图。手上长嘴当然也可以,不过感觉有点恶心 ~ 就不上那种图了。

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这里所采用的算法就是大名鼎鼎的泊松融合算法,它的应用非常广泛,除了上面这种手上长眼睛的效果,还可以实现“纹理拼接”、“精细抠图”、“移花接木”等等效果。我之前已经从纯数学的角度讨论过它的原理了。

图像的泊松(Poisson)编辑、泊松融合完全详解

而且我也给出了MATLAB中的实现代码

但是,当初给出的代码仅仅是为了算法演示的目的,所以并未进行优化。可以说是最简单、最原始的实现方法。然后,我写完就扔一边很久没碰了。今天有朋友向我了解,我表示印象中应该有一个优化算法,但是当初没有深究。今天好奇心再次被唤起,想来再续前缘。没想到一顿翻箱倒柜,还真找到些不错的资料。其中一篇感性角度理解该算法的文章尤为耀眼。不仅介绍了算法的原理(而且完全不从数学角度,就从感性认识谈也一样深刻),还谈及了优化的实现方法。今天我特别二次加工后与各位分享。

下面的图基本都是盗的原文中的,原文是英文,我根据自己的理解翻译+改编,希望能融合一些我个人的理解。

首先,让我们从最最简单的“一维”情况开始考虑。如下图所示,我们的目标是将左图中红色的部分copy到右图中,这个时候左图中红色部分就相当于是最开始图中的“眼睛”,右图就是一个手掌。

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如果要做到天衣无缝,我们应该保证哪些条件?这个我在过去的文章中讨论过,总而言之,言而总之,就两条:1)将眼睛融入手掌之后,眼睛和手掌相连的边缘过渡要平滑(用图像处理的术语说,就是梯度小)。2)眼睛内部的自身纹理要最大程度保留,不能融合之后眼睛没了,就剩手掌那肯定不行。

就我们当前所面对的这个例子,其实就是要求:

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其中f 是右图中的“信号”,而+1、-1、+2、-1、-1是原图(左图)本来的梯度。那我们有没有什么是已知的呢?有的!f1=6,f6=1,即融合边界的信息我们已知。于是化简有

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然后根据费马定理,当有极值时,偏导数等于零,即

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然后如果用矩阵形式来表示方程组便有

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现在要解一个线性方程组,而且这个方程组还是稀疏的,显然用高斯-塞德尔迭代法是非常不错的选择,这也是此处优化的泊松方程数值解法的核心。更多高斯-塞德尔迭代法的内容请见

Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法

然后我们咔嚓一顿狂解,最后得到方程组的结为:f2=6,f3=4,f4=5,f5=3,这好像并不太直观,于是用图形来表示

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哈啊!看出门道了吗?首先,接合的地方过渡很自然(梯度小),内部纹理保持的也不错(基本和原图一致)。Yes, we get it!

然后呢?我们既然处理的对象是图像,所以还得回到二维的情况来看看。其实,你应该理解,这个推广的过程其实没啥新鲜的东西。但它与你编程实现直接相关。下图演示了我们将要开展的工作。数字方格是我要copy过来的像素点,红色表示接合边缘。

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跟一维的情况一样,我们现在要解线性方程组 Ax = b,其中A是一个N×N的方阵,N是我们要copy的像素数目,本题中N=10。我们用下面的伪代码演示了创建一个所需的10×10方阵。

 for i=1:row number
	    for j=1:col number
	        if(i==j)
	            matrix(i, j)=-4
	        elif(adjacent(pixel(j), pixel(i)))
	            matrix(i, j)=1
	        else
	            matrix(i, j)=0
	        end
	    end
	end 
最终我们生成的矩阵应该是长成下面这个样子(这个地方原文应该有误):

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在方程组 Ax = b中,b 是一个N元向量,它是由下面这个式子创建的

b[i] = div ( G( Source(x,y) ) ) + Neighbor(target i) ; i=1..N

其中G(·)是求梯度,散度由下面公式求得(这属于经典离散数值解,不做过多解释,如果你感觉困惑可以看我前面的文章,已经说得很详细了)

div G = -4 f(x,y) + f(x-1,y) + f(x,y-1) + f(x+1,y) + f(x,y+1)

其中i的邻域(Neighbor)指的是i的四邻域点中属于边界的部分,例如从图中可以看出

Neighbor(pixel 1) 有三个点: left, up, right;Neighbor(pixel 8) 有两个点: left, up;Neighbor(pixel 5) 有一个点: up.

如果我们知道矩阵 A 和向量 b, 我们就可以根据x = A-1* b来计算向量x,这也就是目标图像中要被填充的部分像素。

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