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用二叉树来理解树状数组

11-04-12

树状数组(Fenwick tree,又名binary indexed tree),是一种很实用的数据结构。它通过用节点i,记录数组下标在[ i –2^k + 1, i]这段区间的所有数的信息(其中,k为i的二进制表示中末尾0的个数,设lowbit(i) = 2^k),实现在O(lg n) 时

树状数组(Fenwick tree,又名binary indexed tree),是一种很实用的数据结构。它通过用节点i,记录数组下标在[ i –2^k + 1, i]这段区间的所有数的信息(其中,k为i的二进制表示中末尾0的个数,设lowbit(i) = 2^k),实现在O(lg n) 时间内对数组数据的查找和更新。

树状数组的传统解释图,不能很直观的看出其所能进行的更新和查询操作。其最主要的操作函数lowbit(k)与数的二进制表示相关,本质上仍是一种二分。因而可以通过二叉树,对其进行分析。事实上,从二叉树图,我们对它所能进行的操作和不能进行的操作一目了然。

和前面提到的点树类似,先画一棵二叉树,然后对节点中序遍历(点树是采用广度优先),每个节点仍然只记录左子树信息,见图:


由于采用的是中序遍历,从节点1到节点k时,刚好有k个叶子被统计。

可以证明:

  叶子k,一定在节点k的左子树下。

  以节点k为根的树,其左子树共有叶子lowbit(k)

节点k的父节点是:k + lowbit(k) 或 k - lowbit(k) 

节点k + lowbit(k) 是节点k的最近父节点,且节点k在它的左子树下。

节点k - lowbit(k) 是节点k的最近父节点,且节点k在它的右子树下。

节点k,统计的叶子范围为:(k - lowbit(k),  k]。

节点k的左孩子是:k - lowbit(k) / 2

 

下面分析树状数组两面主要应用:

1 更新数据x,进行区间查询。

2 更新区间,查询某个数。

由于,树状数组只统计了左子树的信息,因而只能查询更新区间[1, x]。只在在满足[x,y]的信息可以由[1,x-1]和[1,y]的信息推导出时,才能进行区间[x,y]的查询更新。这也是树状数组不能用于任意区间求最值的根本原因。

 

先定义两个集合:

up_right(k) : 节点k所有的父节点,且节点k在它们的左子树下。

up_left(k) :  节点k所有的父节点,且节点k在它们的右子树下。

 

1  更新数据x,查询区间[1,y]。

显然,更新叶子x,要找出叶子x在哪些节点的左子树下。因而节点k、所有的up_right(k)

都要更新。

查询[1, y],实际上就是把该区间拆分成一系列小区间,并找出统计这些区间的节点。可以通过找出y在哪些节点的右子树下,这些节点恰好不重复的统计了区间[1, y-1]。因而要访问节点y、所有的up_left(y)。

 

2 更新区间[1,y],查询数据x

  这和前面的操作恰好相反。与前面的最大不同之处在于:节点保存的不再是其叶子总个数这些信息,而是该区间的所有叶子都改变了多少。也就是说:每个叶子的信息,分散到了所有对它统计的节点上。因此操作和前面相似:

  更新[1,y]时,更新节点y、所有up_left(y)。

  查询x时,  访问x、所有up_right(x)。

 

前面的树状数组,只对左子树信息进行统计,如果从后往前读数据初始化树状数组,则变成只对右子树信息进行统计,这时更新和查询操作,刚好和前面的相反。

 

一般情况下,树状数组比点树省空间,对区间[1, M]只要M+1空间,查询更新时定位节点比较快,定位父节点和左右孩子相对麻烦点(不过,一般也不用到。从上往下查找,可参考下面代码中的erease_nth函数(删除第n小的数))。

 

下面是使用树状数组的实现代码(求逆序数和模拟约瑟夫环问题):

 

 

树状数组
//www.cnblogs.com/flyinghearts
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cassert>
 
template<int N> struct Round2k
{ enum { down = Round2k<N / 2u>::down * 2}; };

template<> struct Round2k<1> { enum { down = 1}; };
 

template <int  Total, typename T = int>  //区间[1, Total]
class  BIT {
  enum { Min2k = Round2k<Total>::down}; 
  T info[Total + 1];               
  T sz;                                 //可以用info[0]储存总大小
 
public:
  BIT() { clear(); }
  void clear() { memset(this, 0, sizeof(*this));}
  int size() { return sz; }

  int lowbit(int idx) { return idx & -idx;}
  //寻找最近的父节点,left_up/right_up 分别使得idx在其右/左子树下
  void left_up(int&  idx) { idx -= lowbit(idx); }
  void right_up(int&  idx) { idx += lowbit(idx); }

  void update(int idx ,const int val = 1) {   //叶子idx 改变val个 
    assert(idx > 0);
    sz += val;
    for (; idx <= Total; right_up(idx)) info[idx] += val;
  }

  void init(int arr[], int n) {               // arr[i]为叶子i+1的个数
    assert(n <= Total);
    sz = n;
    // for (int i = 0; i < n; ) {
      // info[i + 1] = arr[i];
      // if (++i >= n) break;
      // info[i + 1] = arr[i];
      // ++i;
      // for (int j = 1; j < lowbit(i); j *= 2u) info[i] += info[i - j];
    // } 
    for (int i = 0; i < n; ) {
      info[i + 1] = arr[i];
      if (++i >= n) break;
      int sum = arr[i];
      int pr = ++i;
      left_up(pr);
      for (int j = i - 1; j > pr; left_up(j)) sum += info[j];
      info[i] = sum; 
    }
  }
 
  int count(int idx) {  //[1,idx] - [1, idx-1]
    assert(idx > 0);     
    int sum = info[idx];
    // int pr = idx;   //int pr = idx - lowbit(idx);   
    // left_up(pr);  
    // for (--idx; idx > pr; left_up(idx)) sum -= info[idx]; //
    // return sum;
    for (int j = 1; j < lowbit(idx); j *= 2u) sum -= info[idx - j];
    return sum;
  } 
 
  int lteq(int idx) {                                  //小等于
    assert(idx >= 1 && idx <= Total);
      int sum = 0;
    for (; idx > 0; left_up(idx)) sum += info[idx];
      return sum;
  }
 
  int gt(int idx) { return sz - lteq(idx); }           //大于

  int operator[](int n)  { return erase_nth(n, 0); }  //第n小
 
  int erase_nth(int n, const bool erase_flag = true)   //删除第n小的数
  {
    assert(n >=1 && n <= sz);
    sz -= erase_flag;
    int idx = Min2k;                               //从上往下搜索,先定位根节点
    for (int k = idx / 2u; k > 0; k /= 2u) {
      int t = info[idx];
      if (n <= info[idx]) { info[idx] -= erase_flag; idx -= k;}  //进入左子树     
      else {
        n -= t;
        if (Total != Min2k && Total != Min2k - 1) //若不是完全二叉树
          while (idx + k > Total)

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